数理逻辑研究思维的形式和规律它用数学方法研究推理过程数学方法指使用符号和公式推理过程指从已知条件得到结论数理逻辑也叫符号逻辑它和计算机科学有密切关系计算机的硬件设计需要逻辑软件的程序正确性需要证明人工智能领域使用逻辑表示知识编程语言的理论基础包含逻辑

命题逻辑是数理逻辑的基础部分命题是能判断真假的句子今天下雨是一个命题雪是黑的也是一个命题命题有真值真或者假命题可以用符号表示比如pqr命题可以通过连接词组合非表示否定并且表示合取或者表示析取如果那么表示蕴含当且仅当表示等价这些连接词有严格定义真值表给出明确定义真值表列出所有可能取值

p和非p的关系如果p真则非p假如果p假则非p真p和q的合取只有p真q真时p且q才真其他情况都假p和q的析取只有p假q假时p或q才假其他情况都真蕴含如果p那么q只有p真q假时假其他情况都真等价p当且仅当qp和q同真同假时为真

命题逻辑有公式公式由命题符号和连接词组成公式有分类重言式永远真矛盾式永远假可满足式至少有一种赋值使公式真命题逻辑有推理规则假言推理是常见规则如果p那么q并且p真可以推出q真命题逻辑有公理系统从公理出发根据推理规则得到定理

命题逻辑表达能力有限它不能分析命题内部结构谓词逻辑扩展命题逻辑谓词逻辑引入个体词表示对象谓词表示对象的性质或关系量词表示数量全称量词表示所有存在量词表示存在例如所有人都会死用逻辑符号写对于任意x如果x是人那么x会死

个体域是讨论对象的全体解释给符号指定含义赋值给变量指定个体公式在解释下有真值谓词逻辑有永真式任何解释下都真谓词逻辑有推理规则全称列举规则如果所有x满足A那么某个特定个体也满足A存在推广规则如果某个个体满足A那么存在x满足A

一阶逻辑是常见的谓词逻辑它只对个体量化不对谓词量化二阶逻辑可以对谓词量化一阶逻辑有完备性任何永真公式都可以证明一阶逻辑有紧致性公式集可满足当且仅当每个有限子集可满足

集合论是数学的基础它研究集合的性质集合是一堆对象构成的整体对象是集合的元素空集没有元素子集所有元素都属于另一个集合幂集是所有子集的集合并集包含所有集合的元素交集包含同时属于所有集合的元素差集属于一个集合但不属于另一个集合的元素

集合论有悖论罗素悖论著名所有不包含自身的集合的集合这个集合是否包含自身如果它包含自身根据定义它不应该包含自身如果它不包含自身根据定义它应该包含自身这产生矛盾公理集合论解决悖论问题ZFC系统常用它有外延公理空集公理对公理并集公理幂集公理无穷公理替换公理正则公理选择公理

哥德尔不完备定理是数理逻辑重要结果它针对包含算术的形式系统第一定理说任何足够强的一致系统存在不可判定命题命题本身和它的否定都不能证明第二定理说系统不能证明自身的一致性这限制形式方法的能力

模型论研究形式语言和其解释之间的关系结构给语言提供解释语言有常数符号函数符号谓词符号结构有论域指定常数对应元素函数符号对应函数谓词符号对应关系公式在结构中有真值两个结构同构它们有相同结构只是元素名字不同理论是一组句子的集合模型的理论是所有在这个模型中真的句子的集合

证明论研究证明的结构证明是有限序列每一步是公理或从前面的步骤用推理规则得到推导的最后是证明的结论自然演绎是一种证明系统它没有公理只有推理规则序列演算另一种证明系统它操作推导关系切割消除定理重要它说证明中可以消除切割规则

递归论研究可计算性可计算函数直观上能用机械方法计算的函数图灵机是计算模型它有无限长的带子读写头状态寄存器根据当前状态和符号执行操作移动读写头改变状态图灵可计算函数是图灵机能计算的函数图灵机有停机问题判断图灵机在给定输入上是否停机是不可判定的邱奇图灵论题说直观可计算函数就是图灵可计算函数

λ演算是另一种计算模型它使用函数和应用变量表示参数抽象定义函数应用表示函数作用λ项可以归约有转换规则邱奇罗瑟定理说归约的结果与归约顺序无关

数理逻辑在计算机科学应用广泛逻辑电路使用与或非门这些对应逻辑连接词程序设计语言使用逻辑类型系统基于逻辑程序验证使用霍尔逻辑前置条件后置条件部分正确性如果程序终止且前置条件真那么后置条件真完全正确性程序终止且前置条件真那么后置条件真

数据库使用逻辑关系数据库基于谓词逻辑查询语言是逻辑公式数据库实例是结构SQL语言实现选择投影连接这些对应逻辑操作知识表示使用逻辑一阶逻辑表示事实和规则专家系统使用推理机从知识库推导结论

自动推理研究计算机自动进行推理归结原理是重要方法它用于定理证明命题逻辑的归结子句是文字的析取两个子句如果有互补文字可以生成新子句一阶逻辑的归结需要合一合一找到替换使项相同归结原理是完备的如果公式不可满足归结能推出空子句

模态逻辑扩展经典逻辑它引入模态算子必然可能必然真在所有可能世界真可能真在某个可能世界真可能世界是情境可及关系连接可能世界模态逻辑有不同系统系统T系统S4系统S5它们的可及关系有不同性质自反传递对称

时态逻辑处理时间它有算子总是有时将来过去动态逻辑处理动作程序执行前执行后多值逻辑有超过两个真值三值逻辑有真假未知模糊逻辑处理程度真真值在0和1之间

概率逻辑结合逻辑和概率公式有概率推理考虑不确定性非单调逻辑处理默认推理通常情况成立有例外撤回结论这些逻辑扩展经典逻辑的应用范围

逻辑学历史悠久亚里士多德研究三段论莱布尼茨设想普遍语言布尔创建逻辑代数弗雷格建立谓词逻辑哥德尔证明完备性定理和不完备性定理图灵提出图灵机概念这些人的工作奠定数理逻辑基础

学习数理逻辑需要做练习理解符号含义掌握推理方法熟悉不同逻辑系统了解定理证明数理逻辑训练思维它让人思考更清晰表达更准确计算机专业学生应该学习数理逻辑它提供理论基础帮助理解计算机深层原理

逻辑公式需要严格书写括号表示结合顺序量词有作用域变量有自由出现和约束出现代入操作需要避免捕获公式等价可以互相推导公式蕴含如果一个真那么另一个真逻辑系统的一致性没有矛盾可靠性可证明的都真完备性真的都可证明

这些概念构成数理逻辑内容它们相互关联形成完整体系数理逻辑是精确的工具它用于分析语言研究推理支持计算这门学科继续发展新的逻辑系统不断出现应用领域不断扩大