数学就在我们身边。初一的学生开始学习数学建模。数学建模是把生活中的问题变成数学问题。我们用一个例子说明。学校要组织春游。租车是一个问题。大巴车每辆可以坐四十八人。每天租金一千二百元。中巴车每辆可以坐三十人。每天租金八百元。全校有三百二十个学生和十个老师参加。怎样租车最省钱。这就是一个数学建模问题。

我们先把生活问题变成数学问题。总共有三百三十人需要坐车。大巴车四十八人一辆。中巴车三十人一辆。大巴车租金一千二。中巴车租金八百。我们要找一种租车方案。这种方案要坐得下所有人。还要让总租金最少。

我们开始思考。可以只用大巴车。三百三十除以四十八。需要六点八七五辆。车不能是小数。所以要七辆大巴车。七辆大巴车可以坐三百三十六人。租金是七乘以一千二。总共八千四百元。这个方案坐得下。但可能不是最省钱的。

可以只用中巴车。三百三十除以三十。正好需要十一辆。十一辆中巴车可以坐三百三十人。租金是十一乘以八百。总共八千八百元。这个比七辆大巴车还贵。看来只用一种车不一定省钱。

我们可以混合租车。试试用六辆大巴车。六辆大巴车可以坐二百八十八人。还剩下四十二人。四十二人需要中巴车。一辆中巴车坐三十人。两辆中巴车坐六十人。这样总共可以坐三百四十八人。租金是六乘以一千二加上两乘以八百。结果是七千二百加一千六百。总共八千八百元。和全用中巴车一样贵。

试试用五辆大巴车。五辆大巴车坐二百四十人。剩下九十人。九十人需要三辆中巴车。三辆中巴车坐九十人。总共坐三百三十人。正好坐满。租金是五乘以一千二加上三乘以八百。结果是六千加二千四百。总共八千四百元。和全用大巴车价格一样。

试试用四辆大巴车。四辆大巴车坐一百九十二人。剩下了一百三十八人。中巴车需要五辆。五辆中巴车坐一百五十人。总共可以坐三百四十二人。租金是四乘以一千二加上五乘以八百。结果是四千八百加四千。总共八千八百元。更贵了。

试试用七辆大巴车我们已经算过。八千四百元。用八辆大巴车太浪费。肯定更贵。我们看看五辆大巴车加三辆中巴车是八千四百元。六辆大巴车加两辆中巴车是八千八百元。四辆大巴车加五辆中巴车也是八千八百元。看起来八千四百元是一个比较低的数字。

但我们还要继续找。试试用三辆大巴车。三辆大巴车坐一百四十四人。剩下一百八十六人。需要中巴车七辆。七辆中巴车坐二百一十人。总共可以坐三百五十四人。租金是三乘以一千二加上七乘以八百。结果是三千六百加五千六百。总共九千二百元。更贵了。

试试用两辆大巴车。两辆大巴车坐九十六人。剩下二百三十四人。需要中巴车八辆。八辆中巴车坐二百四十人。总共坐三百三十六人。租金是两乘以一千二加上八乘以八百。结果是二千四百加六千四百。总共八千八百元。

试试用一辆大巴车。一辆大巴车坐四十八人。剩下二百八十二人。需要中巴车十辆。十辆中巴车坐三百人。总共坐三百四十八人。租金是一千二加上十乘以八百。一千二加八千。总共九千二百元。

看起来五辆大巴车加三辆中巴车。或者七辆大巴车。都是八千四百元。但我们忘记考虑老师。老师也是人。需要座位。我们的计算已经包括老师。总人数三百三十人包含老师。

我们要检查座位数是否刚好。五辆大巴车加三辆中巴车。座位是二百四十加九十。等于三百三十。正好坐满。没有空位。七辆大巴车。座位是三百三十六。空出六个座位。但租金一样。从省钱角度看。两个方案一样。从节约座位角度看。五辆大巴车加三辆中巴车更好。不浪费座位。

也许还有别的方案。试试用六辆大巴车加一辆中巴车。六辆大巴车坐二百八十八人。一辆中巴车坐三十人。总共三百一十八人。不够三百三十人。这个方案不行。

试试用五辆大巴车加两辆中巴车。五辆大巴车坐二百四十人。两辆中巴车坐六十人。总共三百人。不够。也不行。

试试用四辆大巴车加四辆中巴车。四辆大巴车坐一百九十二人。四辆中巴车坐一百二十人。总共三百一十二人。不够。

试试用四辆大巴车加六辆中巴车。四辆大巴车坐一百九十二人。六辆中巴车坐一百八十人。总共三百七十二人。太多了。租金是四千八百加四千八百。九千六百元。更贵。

我们找到的最优方案就是两个。七辆大巴车。或者五辆大巴车加三辆中巴车。租金都是八千四百元。在实际生活中。我们还要考虑其他因素。比如司机。比如停车。比如车辆调度。但数学建模帮助我们找到了可能的最省钱的方案。

这个租车问题是一个简单的线性规划问题。初一学生可以用列举法解决。把所有可能的情况列出来。比较总租金。找到最少的。这就是数学建模的基本过程。从实际问题出发。做出简化假设。用数学语言描述问题。建立数学模型。求解模型。验证结果。最后解释回到实际问题。

另一个常见的例子是矿泉水瓶问题。班级开运动会。需要买矿泉水。商店有促销。空瓶可以换水。三个空瓶可以换一瓶新的矿泉水。如果一开始买十瓶水。三十个人每人至少喝一瓶。总共需要买多少瓶。

我们建模。设需要买x瓶。每个人喝一瓶。总共需要三十瓶。这些水来自两部分。直接买的x瓶。用空瓶换来的水。每三瓶水喝完后产生三个空瓶。可以换一瓶新水。这一瓶水喝完后又产生一个空瓶。问题复杂。

我们换一个思路。借一个空瓶的想法。三个空瓶换一瓶水。这一瓶水喝完后产生一个空瓶。相当于两个空瓶可以换到一瓶水。不包括瓶。我们只要水。因为瓶要还。可以这样想。买一瓶水。喝掉水。有一个空瓶。向商店借一个空瓶。加上自己的空瓶。有两个空瓶。再借一个空瓶。凑成三个空瓶。换一瓶新水。喝掉这瓶水。剩下一个空瓶。把这个空瓶还给商店。这样。相当于一个空瓶也没有剩下。我们只用了买一瓶水的钱。就喝到了两瓶水。但借瓶需要商店同意。这是一种思路。

实际计算不用借瓶。我们可以一步一步算。买十瓶水。十个人先喝掉。得到十个空瓶。十个空瓶可以换三瓶新水。剩一个空瓶。三瓶水给三个人喝。得到三个空瓶。加上之前剩的一个空瓶。总共四个空瓶。四个空瓶可以换一瓶新水。剩一个空瓶。这一瓶水给一个人喝。得到一个空瓶。加上剩的一个空瓶。总共两个空瓶。不够换了。到此为止。

我们统计喝了多少瓶。开始十瓶。加上换的三瓶。加上换的一瓶。总共十四瓶。还有两个人没喝到水。所以买十瓶不够。

我们需要买多少瓶。可以设买x瓶。最后所有人都有水喝。空瓶尽量用完。我们可以用方程。设最后有y个人喝到水。买x瓶。通过换水得到额外的水。每三瓶换一瓶。但换的水喝完后又有空瓶。循环。

一个简单方法是考虑瓶的价值。一瓶水包括水和瓶。三个空瓶价值等于一瓶水。一瓶水的水的价值等于两个空瓶的价值。因为三个空瓶换一瓶水。一瓶水的水的价值等于三个空瓶减去一个空瓶等于两个空瓶的价值。所以一瓶水的水的价值是瓶的价值的两倍。

我们买一瓶水。花了一瓶水的钱。得到了水和瓶。水的价值是三分之二瓶水的钱。瓶的价值是三分之一瓶水的钱。我们要的是水。不要瓶。所以我们需要三十份水。一份水的价值是三分之二瓶水的钱。总价值是三十乘以三分之二等于二十瓶水的钱。所以我们需要买二十瓶水。这个解释对初一学生可能难。

我们可以用列举逼近。买二十瓶水。二十个人先喝。得到二十个空瓶。二十个空瓶可以换六瓶水。剩两个空瓶。六瓶水给六个人喝。得到六个空瓶。加上剩的两个空瓶。总共八个空瓶。八个空瓶可以换两瓶水。剩两个空瓶。两瓶水给两个人喝。得到两个空瓶。加上剩的两个空瓶。总共四个空瓶。四个空瓶可以换一瓶水。剩一个空瓶。这一瓶水给一个人喝。得到一个空瓶。加上剩的一个空瓶。总共两个空瓶。不够换。到此为止。

统计喝了多少。二十加六加二加一等于二十九瓶。还差一瓶。有一个人没喝到。所以买二十瓶不够。需要二十一瓶。

买二十一瓶。二十一个人先喝。得到二十一个空瓶。换七瓶水。没有剩余。七瓶水给七个人喝。得到七个空瓶。七个空瓶换两瓶水。剩一个空瓶。两瓶水给两个人喝。得到两个空瓶。加上剩的一个空瓶。总共三个空瓶。换一瓶水。没有剩余。这一瓶水给一个人喝。得到一个空瓶。到此为止。

统计喝了多少。二十一加七加二加一等于三十一。超过了三十。所以买二十一瓶足够三十人喝。而且可能多出一瓶。我们检查人数。第一次二十一人喝。第二次七人喝。第三次两人喝。第四次一人喝。总共三十一人。多出一人。实际上我们只需要三十人喝。所以买二十瓶可能就够。我们刚才算买二十瓶只喝了二十九瓶。差一瓶。为什么。因为最后一次换水后剩两个空瓶。如果商店允许借一个空瓶。就可以再换一瓶。喝完后还瓶。就正好三十瓶。所以买二十瓶。借一个空瓶。就可以解决。但通常题目不允许借。所以需要买二十一瓶。

这就是数学建模。考虑规则。寻找最优解。生活中还有很多例子。比如手机套餐选择。每月通话时间不定。有两种套餐。套餐一每月月租三十元。通话每分钟零点二元。套餐二月租十元。通话每分钟零点三元。每月打多少分钟两种套餐费用一样。每月打多少分钟选择套餐一划算。

我们建模。设每月通话x分钟。套餐一费用是三十加零点二乘以x。套餐二费用是十加零点三乘以x。两者相等时。三十加零点二x等于十加零点三x。解方程。三十减十等于零点三x减零点二x。二十等于零点一x。x等于两百。所以每月打两百分钟时。两种套餐费用一样。都是一百七十元。如果每月通话超过两百分钟。套餐一划算。如果少于两百分钟。套餐二划算。

学生可以用这个模型帮助家长选择套餐。数学建模非常实用。初一学生可以理解这些简单模型。建立模型的步骤是固定的。理解问题。假设条件。定义变量。建立数学关系。求解。检验。应用。

再举一个例子。学校食堂准备食物。每份菜有米饭和蔬菜。米饭每份提供三百克。蔬菜每份提供两百克。学生营养需要。每个学生至少需要四百克碳水化合物。至少需要一百克蛋白质。米饭每百克提供二十五克碳水化合物。三克蛋白质。蔬菜每百克提供五克碳水化合物。两克蛋白质。食堂要满足营养。又要成本最低。米饭每百克成本零点五元。蔬菜每百克成本零点八元。每个学生一份菜。如何搭配米饭和蔬菜的重量。

我们建模。设每份菜中米饭x克。蔬菜y克。每份菜总重量可以是固定的。比如五百克。但这里为了营养。我们可以自由搭配。

营养要求。碳水化合物总量至少四百克。米饭贡献零点二五乘以x克碳水化合物。蔬菜贡献零点零五乘以y克碳水化合物。所以零点二五x加零点零五y大于等于四百。

蛋白质总量至少一百克。米饭贡献零点零三x克蛋白质。蔬菜贡献零点零二y克蛋白质。所以零点零三x加零点零二y大于等于一百。

成本。米饭成本零点零零五乘以x元每克。蔬菜成本零点零零八乘以y元每克。总成本C等于零点零零五x加零点零零八y。我们要最小化C。

同时x和y都大于等于零。这是线性规划。初一学生可以用图解法。或者试数法。

先简化。碳水化合物约束。两边乘以一百。二十五x加五y大于等于四万。蛋白质约束。三x加二y大于等于一万。

我们画图。找到可行域。找角点。计算成本。但初一学生可能没学二元一次不等式。可以用试数。

假设全部用米饭。碳水化合物需要四百克。米饭每克提供零点二五克碳水化合物。所以需要四百除以零点二五等于一千六百克米饭。蛋白质呢。一千六百克米饭提供四十八克蛋白质。不够一百克。所以不行。

假设全部用蔬菜。碳水化合物需要四百克。蔬菜每克提供零点零五克碳水化合物。需要八千克蔬菜。太多。蛋白质呢。八千蔬菜提供一百六十克蛋白质。够。但成本太高。零点零零八乘以八千等于六十四元。太贵。

混合搭配。我们解方程。设两个约束都取等号。二十五x加五y等于四万。三x加二y等于一万。解这个方程组。第一个方程除以五。五x加y等于八千。第二个方程不变。三x加二y等于一万。

由第一个方程。y等于八千减五x。代入第二个方程。三x加二乘以八千减五x等于一万。三x加一万六千减十x等于一万。负七x等于一万减一万六千。负七x等于负六千。x等于六千除以七。约等于八百五十七点一四克。y等于八千减五乘以六百八千五十七点一四。八千减四千二百八十五点七。等于三千七百一十四点二九克。

成本C等于零点零零五乘以八百五十七点一四加零点零零八乘以三千七百一十四点二九。计算。四点二八五七加二十九点七一四三。约等于三十四元。这是可能的最小成本点之一。

检查其他角点。比如蛋白质约束的另一个交点。和坐标轴交点。x等于零时。蛋白质约束。二y等于一万。y等于五千。碳水化合物检查。五乘以五千等于二万五千。大于四万。满足。成本零点零零八乘以五千等于四十元。比三十四元高。

y等于零时。蛋白质约束。三x等于一万。x等于三千三百三十三点三三。碳水化合物检查。二十五乘以三千三百三十三点三三约等于八万三千三百三十三。大于四万。满足。成本零点零零五乘以三千三百三十三点三三约等于十六点六七元。这个成本更低。但y等于零。没有蔬菜。只有米饭。营养单一。但数学模型上允许。因为蛋白质约束和碳水化合物约束都满足。成本十六点六七元。比三十四元低很多。这是因为米饭便宜。蛋白质和碳水化合物主要来自米饭。所以全部米饭成本最低。

但在实际生活中。我们需要蔬菜提供维生素。所以模型要加上蔬菜至少多少克的约束。比如y大于等于一百。这样重新计算。加上y大于等于一百。成本最低点可能是y等于一百。然后x满足约束。计算略。

数学建模就是这样。不断贴近现实。初一学生通过这些问题看到数学的用处。他们学会思考。学会计算。学会优化。数学建模是连接数学和生活的桥梁。