含参量反常积分毕业论文_含参量反常积分理论与应用
含参量反常积分是数学分析的一个重要内容。它在实际问题中有很多应用。我们首先需要理解什么是含参量反常积分。一个函数里面有两个变量。一个变量是积分变量。另一个变量是参数。积分区间是无穷的。或者函数在积分区间上有奇点。这样的积分叫做含参量反常积分。
我们考虑一个函数f(x,y)。x是积分变量。y是参数。积分从a到无穷。写出来就是∫fromato∞f(x,y)dx。这个积分依赖于y。我们需要研究这个积分关于y的性质。比如y在某个区间上变化。我们想知道这个积分是不是连续。是不是可导。是不是可积。
一致收敛的概念很重要。如果积分一致收敛。那么积分定义的函数性质比较好。一致收敛是什么意思呢？对于任意小的正数ε。存在一个大的数M。当积分的上限大于M时。积分值与极限值的差小于ε。这个M不依赖于y。只依赖于ε。如果满足这个条件。我们就说积分在y的区间上一致收敛。
一致收敛有很多判别方法。魏尔斯特拉斯判别法常用。如果存在一个函数F(x)。使得|f(x,y)|≤F(x)。对于所有y成立。并且∫fromato∞F(x)dx收敛。那么∫fromato∞f(x,y)dx一致收敛。这个判别法很简单。我们只需要找一个控制函数。
另一个判别法是狄利克雷判别法。需要两个函数。一个是g(x,y)。关于x单调。并且一致趋于零。另一个是h(x,y)的积分一致有界。那么∫fromato∞g(x,y)h(x,y)dx一致收敛。阿贝尔判别法也类似。一个函数一致收敛。另一个函数单调一致有界。那么乘积的积分一致收敛。
一致收敛的时候。积分定义的函数是连续的。如果f(x,y)在[a,∞)×[c,d]上连续。并且积分一致收敛。那么I(y)=∫fromato∞f(x,y)dx在[c,d]上连续。连续的意思是。当y变化很小的时候。I(y)的变化也很小。
积分号下求导也需要一致收敛。如果f(x,y)对y的偏导数连续。并且积分∫fromato∞∂f/∂ydx一致收敛。那么I(y)可导。并且导数可以拿到积分号里面。写出来就是I'(y)=∫fromato∞∂f/∂ydx。这个定理很有用。它让我们可以交换求导和积分的顺序。
积分号下积分也需要一致收敛。如果f(x,y)连续。并且积分一致收敛。那么I(y)在[c,d]上可积。并且积分顺序可以交换。写出来就是∫fromctodI(y)dy=∫fromctod[∫fromato∞f(x,y)dx]dy=∫fromato∞[∫fromctodf(x,y)dy]dx。这个定理允许我们交换积分顺序。
含参量反常积分在实际问题中经常出现。比如计算积分∫from0to∞e^{-xy}sin(x)dx。这个积分依赖于参数y。当y