极限是数学的重要概念。极限研究函数的变化趋势。生活中常见极限思想。汽车速度表显示瞬时速度。瞬时速度是极限过程。时间间隔很小很小。平均速度接近瞬时速度。这个接近过程就是极限。高等数学建立在极限基础上。微积分需要极限理论。导数是一种特殊极限。定积分也是一种极限。极限求法有很多种。掌握这些方法很重要。

极限定义是基础。数列极限先出现。数列是一串数字。这些数字有顺序。编号越来越大。数字变化有规律。当编号无限增大时。数列的值接近某个数。这个数就是数列极限。函数极限更复杂。自变量趋近某个值时。函数值趋近某个数。这个数就是函数极限。自变量可以趋近无穷大。也可以趋近有限值。左右极限需要考虑。左右极限相等时函数极限存在。

极限求法需要学习。最基本的方法是代入法。函数在一点连续时。极限值等于函数值。直接代入自变量值。得到结果就是极限。例子很简单。求x趋近2时x平方的极限。x等于2代入。2平方等于4。极限就是4。这种方法很直接。但要注意函数连续性。函数不连续时不能直接用。

因式分解法有用处。0比0型极限常见。分子分母都趋近0。直接代入不行。因式分解可以约分。消去零因子。然后再代入计算。比如求x趋近1时(x平方-1)/(x-1)的极限。直接代入得到0比0。分子x平方-1分解为(x-1)(x 1)。分母是(x-1)。约去(x-1)。剩下(x 1)。x趋近1时x 1趋近2。极限就是2。这种方法很实用。

有理化方法也常用。根号表达式出现时。0比0型极限可能发生。分子或分母有理化。消去零因子。比如求x趋近0时(根号(1 x)-1)/x的极限。直接代入得到0比0。分子有理化。分子分母同乘(根号(1 x) 1)。分子变成(1 x)-1等于x。分母是x(根号(1 x) 1)。约去x。剩下1/(根号(1 x) 1)。x趋近0时分母趋近2。极限就是1/2。这种方法处理根号很有效。

两个重要极限必须掌握。第一个重要极限是x趋近0时sinx/x的极限。这个极限等于1。证明需要几何图形。单位圆中画三角形。比较面积得到不等式。用夹逼定理证明极限为1。这个极限应用广泛。可以求其他三角函数极限。比如x趋近0时tanx/x的极限。tanx等于sinx/cosx。写成(sinx/x)*(1/cosx)。前面部分趋近1。后面部分也趋近1。整体趋近1。这种变形很常见。

第二个重要极限是x趋近无穷时(1 1/x)的x次方的极限。这个极限等于e。e是自然常数。约等于2.71828。这个极限可以变形。令t等于1/x。当x趋近无穷时t趋近0。极限变成(1 t)的1/t次方。这个形式也常用。利用这个极限可以求幂指函数极限。比如x趋近无穷时(1 2/x)的x次方的极限。令t等于x/2。原式变成(1 1/t)的2t次方。等于[(1 1/t)的t次方]的平方。趋近e的平方。这种换元方法很巧妙。

等价无穷小替换很方便。x趋近0时一些函数等价。sinx等价于x。tanx等价于x。arcsinx等价于x。arctanx等价于x。1-cosx等价于(1/2)x平方。ln(1 x)等价于x。e的x次方-1等价于x。这些等价关系可以证明。用极限定义验证。比如x趋近0时sinx/x极限为1。所以sinx等价于x。这些等价关系可以简化计算。

例子说明等价无穷小的用处。求x趋近0时(sin3x)/x的极限。sin3x等价于3x。原式变成3x/x等于3。极限就是3。再比如求x趋近0时(1-cosx)/x平方的极限。1-cosx等价于(1/2)x平方。原式变成(1/2)x平方/x平方等于1/2。极限就是1/2。使用等价无穷小要注意条件。只能用于乘除运算。不能用于加减运算。加减运算需要更仔细。

洛必达法则很强大。0比0型极限适用。无穷比无穷型也适用。分子分母同时求导。导数比的极限等于原极限。前提是导数比的极限存在。例子很容易理解。求x趋近0时sinx/x的极限。分子sinx导数cosx。分母x导数1。导数比是cosx/1。x趋近0时cosx趋近1。极限就是1。这个结果和重要极限一致。再比如求x趋近0时(e的x次方-1)/x的极限。分子导数e的x次方。分母导数1。导数比是e的x次方。x趋近0时e的x次方趋近1。极限就是1。这个结果和等价无穷小一致。

洛必达法则可以连续使用。一次求导后还是0比0型。可以再次求导。直到得到结果。比如求x趋近0时(x-sinx)/x三次方的极限。第一次求导分子1-cosx。分母3x平方。还是0比0型。第二次求导分子sinx。分母6x。还是0比0型。第三次求导分子cosx。分母6。x趋近0时cosx趋近1。极限就是1/6。这种方法很系统。但要注意条件。导数比的极限必须存在。

夹逼定理很直观。函数g(x)小于等于f(x)。f(x)小于等于h(x)。g(x)和h(x)极限都是A。那么f(x)极限也是A。这个定理容易理解。数列极限也有类似定理。例子很典型。求x趋近0时x平方乘sin(1/x)的极限。sin(1/x)绝对值不超过1。所以x平方乘sin(1/x)绝对值不超过x平方。x平方趋近0。负的x平方也趋近0。根据夹逼定理原式极限为0。这个例子显示夹逼定理的用处。函数振荡时特别有效。

单调有界定理很重要。数列单调增加有上界。数列必有极限。数列单调减少有下界。数列必有极限。这个定理用于证明极限存在。例子很经典。数列a1等于根号2。a2等于根号(2 根号2)。a3等于根号(2 根号(2 根号2))。这样构造下去。这个数列单调增加。并且有上界2。所以极限存在。实际计算可以设极限为A。递推关系是a(n 1)等于根号(2 a(n))。两边取极限得到A等于根号(2 A)。解方程A平方等于2 A。A平方减A减2等于0。解得A等于2或负1。负数舍去。极限就是2。这个方法很巧妙。

泰勒公式展开很精确。函数可以用多项式逼近。多项式次数越高逼近越好。常用泰勒展开需要记住。e的x次方展开为1 x x平方/2 x三次方/6 ...。sinx展开为x-x三次方/6 x五次方/120-...。cosx展开为1-x平方/2 x四次方/24-...。ln(1 x)展开为x-x平方/2 x三次方/3-...。这些展开式用于求极限。例子很简单。求x趋近0时(e的x次方-1-x)/x平方的极限。e的x次方展开取前几项。e的x次方约等于1 x x平方/2。代入分子得到(1 x x平方/2-1-x)等于x平方/2。分母是x平方。比值等于1/2。极限就是1/2。泰勒展开提供系统方法。

定积分定义求极限。定积分是特殊极限。积分区间分割成小段。每段取函数值。求和取极限。这个思想可以求数列极限。比如求n趋近无穷时(1/n)乘求和sin(k/n)的极限。k从1到n。这个和式是黎曼和。对应函数sinx在区间[0,1]的积分。所以极限等于积分值。sinx在[0,1]的积分是-cosx从0到1。等于-(cos1-cos0)等于1-cos1。这种方法连接数列极限和积分。

无穷小比较有必要。无穷小趋近0的速度不同。比较阶数很重要。高阶无穷小趋近更快。低阶无穷小趋近更慢。同阶无穷小比值极限是非零常数。等价无穷小是特例。比值极限为1。阶数比较用于近似计算。例子很直接。x趋近0时x平方是x的高阶无穷小。因为x平方/x等于x趋近0。x和2x是同阶无穷小。比值极限为2。这种比较在误差分析中有用。

极限存在准则要掌握。柯西准则很通用。数列极限存在的充要条件。对于任意小正数。存在编号N。当编号m,n大于N时。项a(m)和a(n)的差绝对值小于那个正数。这个准则判断极限存在。不需要知道极限值。函数极限也有类似准则。这些准则在理论证明中重要。

极限求法需要综合运用。实际问题可能复杂。多种方法结合使用。先化简表达式。再看极限类型。选择合适方法。计算要仔细。结果要验证。极限思想贯穿微积分。导数定义是差商的极限。定积分定义是黎曼和的极限。级数求和是部分和的极限。多元函数极限更复杂。方向不同可能极限不同。这些内容需要继续学习。