概率研究生活中事情发生的可能性。抛硬币得到正面是一种概率。扔骰子得到六点是一种概率。明天会不会下雨也是一种概率。概率是一个数字。这个数字在零和一之间。零表示事情不会发生。一表示事情一定发生。零点五表示事情发生和不发生的机会一样。

概率的计算方法有三种。第一种是古典概率。我们清楚所有可能的结果。每个结果出现的机会相同。比如抛硬币。硬币有两个面。正面和反面。得到正面的概率是二分之一。得到反面的概率也是二分之一。扔一个骰子。骰子有六个面。每个数字出现的概率都是六分之一。

第二种是统计概率。我们进行多次试验。记录事情发生的次数。用发生的次数除以总次数得到概率。比如我们抛硬币一万次。发现正面出现四千九百次。正面的概率大约是零点四九。这个结果接近零点五。试验次数越多结果越准确。

第三种是主观概率。根据个人经验判断概率。比如你认为明天下雨的可能性很大。你说概率是百分之八十。这个概率没有精确计算。它来自你的感觉和经验。

概率在生活中广泛应用。天气预报用概率。医生诊断疾病用概率。保险公司的保费计算用概率。赌博游戏的设计用概率。理解概率帮助我们做出更好的决定。

我们讨论一个简单例子。一个袋子有三个红球两个白球。伸手摸一个球。摸到红球的概率是多少。总共有五个球。红球有三个。概率是五分之三。摸到白球的概率是五分之二。

我们讨论两个事情同时发生的概率。抛两次硬币。两次都是正面的概率是多少。第一次正面的概率是二分之一。第二次正面的概率是二分之一。两次都是正面的概率是四分之一。我们乘两个概率。

事情有时相互影响。我们讨论条件概率。已知一件事情发生另一件事情发生的概率。比如我们有一个班级。班级里有男生和女生。男生二十人。女生三十人。男生中戴眼镜的有十人。女生中戴眼镜的有十五人。随机选一个学生。这个学生是男生的概率是五分之二。如果已知这个学生戴眼镜。他是男生的概率是多少。戴眼镜的学生总共有二十五人。男生戴眼镜的有十人。概率是二十五分之十。约分后是五分之二。

我们讨论互斥事件。两个事情不能同时发生。比如抛硬币。正面和反面是互斥事件。我们扔一个骰子。得到一点和两点是互斥事件。计算至少一个发生的概率。我们加两个概率。抛硬币得到正面或反面的概率是二分之一加二分之一等于一。这个结果正确。正面和反面必有一个发生。

我们讨论独立事件。一个事件发生不影响另一个事件。比如抛两次硬币。第一次的结果不影响第二次。两个事件独立。我们计算同时发生的概率。乘两个概率。抛两次硬币都得到正面的概率是二分之一乘二分之一等于四分之一。

概率计算中经常使用排列组合。排列考虑顺序。组合不考虑顺序。比如我们选三个人组成队伍。不考虑顺序是组合问题。我们计算有多少种选法。从五个人中选三个人。组合数是十。我们给三个人分配不同职位。考虑顺序是排列问题。排列数是六十。

我们讨论一个经典问题。生日问题。一个房间有二十三人。至少两人生日相同的概率是多少。很多人认为这个概率很小。实际计算这个概率超过百分之五十。我们计算所有人生日都不同的概率。第一个人可以是任何一天。概率是一。第二个人与第一个人不同。概率是三百六十五分之三百六十四。第三个人与前两个不同。概率是三百六十五分之三百六十三。依此类推。乘这些概率。用一减去这个概率得到至少两人相同的概率。结果大约是百分之五十点七。这个结果出乎意料。

概率论中有一个重要概念。期望值。期望值表示长期平均结果。比如我们扔骰子。点数的期望是多少。每个点数概率是六分之一。计算一点乘六分之一加二点乘六分之一加三点乘六分之一加四点乘六分之一加五点乘六分之一加六点乘六分之一。结果是三点五。期望值不一定是实际可能的值。扔骰子不会得到三点五。但长期平均点数接近三点五。

我们讨论一个赌博例子。轮盘赌。轮盘有三十八个数字。包括一到三十六加零和零零。押一个数字。赢的概率是三十八分之一。赔率是三十五比一。你押一元。赢了得到三十五元。期望值计算。赢的概率是三十八分之一。得到三十五元。输的概率是三十八分之三十七。失去一元。期望值是三十五乘三十八分之一加负一乘三十八分之三十七。结果是负零点零五二元。平均每次赌输五分二厘。赌博长期必输。

概率论中有一个重要定律。大数定律。试验次数很多时频率接近概率。抛硬币次数少时正面比例可能不稳定。抛十次可能七次正面。抛一万次正面比例接近零点五。抛一亿次比例更接近零点五。这个定律是保险业的基础。保险公司不知道哪个人会出事。但很多人投保时事故比例稳定。保险公司可以计算保费。

我们讨论概率分布。概率分布描述随机变量取值的概率。比如扔骰子的点数分布。每个点数概率相等是均匀分布。另一个重要分布是正态分布。正态分布是钟形曲线。中间高两边低。很多自然现象服从正态分布。比如人的身高。大多数人身高接近平均值。很高和很矮的人少。测量误差也服从正态分布。

我们讨论一个决策例子。你有两个选择。选择一确定得到一百元。选择二抛硬币。正面得到二百五十元。反面得到零元。你选哪个。计算选择二的期望值。二百五十乘二分之一加零乘二分之一等于一百二十五。一百二十五大于一百。按期望值应该选抛硬币。但很多人选确定的一百元。这是因为风险厌恶。概率考虑数学计算也考虑人的心理。

医学检验用概率。假设一种疾病患病率百分之一。检验方法准确率百分之九十五。准确率表示有病的人百分之九十五检验阳性。没病的人百分之九十五检验阴性。一个人检验阳性。他真正有病的概率是多少。很多人认为概率是百分之九十五。这个想法错误。我们计算一下。假设一万人检验。患病率百分之一。实际患病人数一百人。没病的人九千九百人。检验准确率百分之九十五。病人中检验阳性九十五人。检验阴性五人。没病的人中检验阳性四百九十五人。检验阴性九千四百零五人。检验阳性总人数九十五加四百九十五等于五百九十人。真正有病的人九十五人。概率是九十五除以五百九十约等于百分之十六。这个结果比想象的低很多。理解这个概率帮助医生正确解释检验结果。

概率在工业生产中应用。工厂生产零件。有次品概率。抽样检查产品。根据抽样结果判断整批产品质量。概率计算帮助制定抽样方案。平衡检查成本和质量风险。

概率在信息技术中应用。网络传输数据可能出错。错误检测和纠正用概率。数据压缩用概率。常见的数据用短码。罕见的数据用长码。这个方案基于概率。

概率在法律中应用。DNA证据用概率。现场发现DNA与嫌疑人匹配。这个匹配可能随机发生。概率计算帮助评估证据强度。检察官fallacy是一个常见错误。把随机匹配概率当成嫌疑人无罪概率。这两个概率不同。正确理解概率避免误判。

概率在金融中应用。股票价格波动用概率模型。期权定价用概率。投资组合管理用概率。风险评估用概率。理解概率帮助做出理性投资决策。

概率在人工智能中应用。机器学习用概率。分类问题用概率。语音识别用概率。机器翻译用概率。概率图模型是重要工具。贝叶斯网络表示变量之间的概率关系。

我们讨论贝叶斯定理。贝叶斯定理更新概率。先有先验概率。得到新证据后计算后验概率。前面医学检验例子可以用贝叶斯定理计算。先验概率是患病率百分之一。检验阳性是新证据。用贝叶斯定理计算后验概率约百分之十六。贝叶斯定理在很多领域有用。

概率论继续发展。新理论处理不确定性问题。模糊概率处理概念不明确的情况。比如一个人是“高个子”的概率。高个子没有明确界限。模糊概率用隶属度表示。

量子力学用概率。微观粒子行为用概率描述。爱因斯坦说“上帝不掷骰子”。但实验证明量子概率是自然本质。

概率是一个工具。帮助我们理解随机现象。概率不是确定性。它提供可能性的度量。生活中充满不确定性。概率帮助我们在这种不确定性中做出合理决策。