小波分析是一种数学工具。它处理信号。信号是什么。信号是随时间变化的东西。比如声音。比如心电图。比如股票价格。传统方法使用傅里叶变换。傅里叶变换看整体频率。它看不到局部时间的信息。一段音乐中有一个高音。傅里叶变换知道有高音。但它不知道高音何时出现。小波分析可以做到。它同时知道频率和时间。

小波像一个小波浪。它有始有终。不像正弦波无限延伸。这个小波浪可以伸缩。可以平移。伸缩对应频率变化。平移对应时间变化。用不同尺度的小波看信号。尺度大看到粗的特征。尺度小看到细的特征。这很像显微镜。调整倍数看到不同细节。这就是多分辨率分析。信号分解成不同层次。每一层代表不同细节。近似部分代表轮廓。细节部分代表精细变化。

小波分析如何工作。它需要一个小波函数。这个小波函数叫母小波。母小波通过伸缩平移得到一族函数。用这一族函数去逼近信号。这就像用积木拼图。积木有不同形状和大小。小波就是这些积木。信号是目标图案。选择合适的积木组合。就能很好地表示图案。计算内积得到小波系数。系数大表示该处信号与小波相似。系数小表示不相似。保留大系数丢弃小系数。这可以实现数据压缩。

小波分析应用广泛。图像处理用到小波。一幅图像有很多像素。像素之间有关联。小波变换找到这些关联。它把图像分成子带。低频子带是模糊的图像。高频子带是边缘和纹理。压缩图像时保留主要低频信息。丢弃一些高频细节。人眼不太敏感。这样文件变小了。JPEG2000标准就用小波。它比老的JPEG更好。压缩比高图像质量好。

信号去噪用到小波。信号中混入噪声。噪声通常是高频的。对小波系数设定阈值。小的系数可能是噪声。把它设为零。大的系数可能是真实信号。把它保留或缩小。然后重构信号。噪声就被去除了。这比传统滤波好。传统滤波可能损失信号细节。小波去噪能保留信号的突变点。比如心电图中的异常跳变。

故障诊断用到小波。机器运转有振动信号。机器正常时信号平稳。机器故障时信号突变。小波分析检测这些突变。它定位突变发生的时间。它识别突变的类型。工程师就知道机器哪里坏了。这用于大型设备监测。比如飞机发动机。比如风力发电机。提前发现故障避免事故。

医学领域用到小波。脑电图分析很复杂。信号是非平稳的。小波分析提取特征。帮助诊断癫痫疾病。它分析睡眠脑电。识别不同的睡眠阶段。它处理医学图像。比如核磁共振图像。小波增强图像对比度。帮助医生看清病灶。

金融时间序列分析。股票价格波动剧烈。小波分析分解价格序列。不同尺度对应不同周期。大尺度对应长期趋势。小尺度对应短期波动。投资者可以分开观察。理解市场不同力量。它也可以用于风险预测。

小波分析有不同类型。哈尔小波是最简单的。它像一个小方波。计算非常快。适合初学者理解。但它的形状不够光滑。处理连续信号效果一般。Daubechies小波是常用的。它由IngridDaubechies构造。它有紧支撑光滑性好。紧支撑意味着它只在有限区间非零。这方便计算。光滑性好表示它能很好表示连续信号。还有Symlets小波。Coiflets小波。它们各有特点。

选择小波是个问题。没有一种小波适合所有情况。要根据信号特点选择。信号是光滑的选光滑小波。信号有奇异点选具有消失矩的小波。消失矩可以刻画函数的规则性。通常通过实验比较。看哪种小波系数更稀疏。稀疏表示效果好。压缩和去噪能力强。

小波分析的计算很重要。Mallat算法是快速算法。它用滤波器组实现。一层分解需要两组滤波器。低通滤波器得到近似部分。高通滤波器得到细节部分。近似部分可以继续分解。这样就得到多层分解。计算速度很快。计算量和数据长度成线性关系。这很高效。计算机编程实现容易。有现成的软件库。比如MATLAB的小波工具箱。

小波分析也有缺点。它依赖于基函数选择。选择不好效果就差。它对于非线性非平稳信号处理能力强。但对于周期性很强的信号。傅里叶分析可能更简单有效。小波变换有离散和连续之分。离散小波变换用于压缩和去噪。连续小波变换用于时频分析显示。

学习小波分析需要基础。先学会傅里叶分析。理解时域和频域概念。理解卷积和内积运算。学习一些泛函分析知识。了解希尔伯特空间。理解正交基的概念。然后学习多分辨率分析框架。这个框架很漂亮。它提供构造小波的方法。从尺度函数出发。通过双尺度方程得到小波函数。掌握滤波器组的设计。

毕业论文可以研究一个具体问题。比如选择一种小波改进它。让它更适合某类信号。可以构造新的小波函数。满足特定应用需求。比如构造一个专门用于心电图的小波。它和QRS波形状相似。这样系数就更稀疏。可以研究小波阈值的选取方法。阈值怎么定。硬阈值和软阈值哪个好。可以提出一种自适应阈值方法。根据每层系数特点设定不同阈值。可以研究小波和其他方法结合。比如小波和神经网络结合。用神经网络学习小波系数。用于图像分类。比如小波和支持向量机结合。提取小波特征输入分类器。用于故障识别。

实验部分需要数据。从公开数据库获取。比如信号处理数据库。比如医学图像数据库。自己编写程序。或者使用工具箱。设置对比实验。传统方法和小波方法比较。比较几个指标。信噪比提高多少。压缩比提高多少。分类准确率提高多少。用图表显示结果。折线图显示不同方法对比。表格列出具体数据。分析为什么小波方法更好。指出它的优点。也指出它的不足。讨论可以改进的地方。

小波分析还在发展。它和深度学习结合。小波可以作为深度网络的层。实现可解释的变换。它和压缩感知结合。利用小波的稀疏性。用更少采样恢复信号。它在量子计算中也有应用。小波理论还在深化。数学家在研究更一般的理论。比如小波框架。比如多小波。比如提升小波。应用领域不断扩展。从工程到金融。从医学到天文。

写毕业论文要注意几点。题目不要太大。聚焦一个小问题。把这个问题讲清楚。公式推导要严谨。不能直接抄袭。要自己推导一遍。实验设计要合理。对比要公平。结论要基于实验结果。参考文献要全面。引用经典论文。引用最新进展。格式要规范。符合学校要求。

小波分析是一个有力的工具。它打开了一扇窗户。让我们同时看到信号的时频信息。它是一把尺子。可以测量不同尺度的结构。它是一座桥梁。连接了纯数学和工程应用。理解小波分析需要耐心。从基础概念开始。一步一步推导。动手编程实验。看到实际效果。就会感受到它的美妙。它用简洁的数学。解决复杂的工程问题。这是数学力量的体现。