几何研究空间形状与结构。我们生活在三维世界。物体具有长度宽度高度。点线面体构成几何基础。点没有大小只有位置。线由无数点连成。面由无数线组成。体由无数面构成。几何知识无处不在。房屋建造需要几何。桌椅设计需要几何。地图绘制需要几何。艺术创作需要几何。几何帮助认识世界。

古代人类观察自然。太阳月亮是圆形。树干是圆柱形。山丘是圆锥形。古人用几何丈量土地。尼罗河每年泛滥。洪水淹没田地边界。需要重新划分土地。古埃及人发展测量术。他们画出直线直角。他们计算土地面积。几何学开始萌芽。古希腊人系统研究几何。泰勒斯证明最早定理。毕达哥拉斯发现勾股定理。三角形直角边平方和等于斜边平方。这个定理影响深远。欧几里得编写《几何原本》。他建立公理体系。五点公设为基础。推导大量几何命题。逻辑严密体系完整。这本书流传两千年。

几何研究图形性质。三角形有三条边。三个角之和为一百八十度。等边三角形三边相等。等腰三角形两边相等。直角三角形有直角。四边形有四条边。正方形四边相等且垂直。长方形对边相等且垂直。平行四边形对边平行。梯形只有一组对边平行。圆是特殊平面图形。圆上每点到圆心距离相等。这个距离叫做半径。圆周率是重要常数。圆的周长与直径比值。这个比值总是固定。约等于三点一四一六。球是立体图形。球面每点到球心距离相等。

几何研究图形关系。两条直线可能平行。两条直线可能相交。相交直线形成夹角。垂直是特殊相交。夹角为九十度。线与面也有关系。线可能在面内。线可能与面平行。线可能与面相交。面与面可能平行。面与面可能相交。相交面形成交线。这些关系很实用。盖房子要墙与地面垂直。铺地板要砖缝平行。安装窗户要框架平整。

几何研究图形度量。长度是最基本度量。用尺子测量线段长。角度是另一度量。用量角器测量角大小。面积测量平面大小。长方形面积等于长乘宽。三角形面积等于底乘高除以二。圆面积等于圆周率乘半径平方。体积测量立体大小。长方体体积等于长乘宽乘高。圆柱体积等于底面积乘高。球体积公式较复杂。这些计算经常使用。买地毯要算面积。装水桶要算容积。运货物要算空间。

几何研究图形变换。平移是基本变换。图形沿方向移动。形状大小不改变。旋转也是常见变换。图形绕点转动。翻转又称反射。图形关于直线对称。缩放改变图形大小。这些变换有规律。平移保持距离不变。旋转保持角度不变。反射保持形状不变。缩放保持比例不变。变换在生活中常见。推箱子是平移。拧瓶盖是旋转。照镜子是反射。放大照片是缩放。

几何研究坐标方法。笛卡尔发明坐标系。平面有横轴纵轴。每个点有坐标数字。点位置用数字表示。直线可以用方程表示。圆可以用方程表示。几何图形代数化。几何问题变计算。求交点解方程组。求距离用坐标差。坐标方法很强大。卫星定位用坐标。地图导航用坐标。电脑绘图用坐标。

几何研究非欧体系。欧氏几何有第五公设。过线外一点有唯一平行线。数学家尝试证明它。罗巴切夫斯基提出新假设。过线外点有多条平行线。黎曼提出不同假设。过线外点没有平行线。这些假设产生新几何。双曲几何曲率为负。椭圆几何曲率为正。欧氏几何曲率为零。非欧几何颠覆观念。空间不一定是平的。三角形内角和不总是一百八十度。这些理论用于相对论。宇宙空间可能弯曲。

几何在现代的应用。建筑依赖几何设计。屋顶用三角形稳定。拱门用弧形承重。机械制造需要几何。齿轮需要精确计算。零件需要准确形状。计算机图形学依靠几何。三维模型由多边形构成。动画需要几何变换。医学影像使用几何。CT扫描重建三维结构。手术规划需要空间测量。机器人依靠几何导航。传感器测量距离。处理器计算路径。

几何与其它学科联系。几何与物理关系密切。光学研究光线传播。反射角等于入射角。力学研究物体运动。抛物线描述抛射轨迹。几何与艺术相互影响。透视法产生立体感。黄金分割创造美感。几何与生物有关联。蜂巢是正六边形。螺壳是对数螺旋。晶体有规则形状。雪花有六角对称。

几何的学习方法。观察实际物体。认识基本图形。比较不同形状。发现共同特征。动手进行操作。折叠剪纸拼图。测量计算数据。推理证明结论。从具体到抽象。从特殊到一般。几何培养空间想象。几何培养逻辑思维。几何培养解决问题能力。

几何的发展趋势。计算几何研究算法。计算机处理图形问题。数字几何处理三维数据。分形几何研究复杂形状。海岸线不是光滑曲线。云朵不是规则图形。分形具有自相似性。小部分类似整体。拓扑几何研究弹性变形。图形拉伸压缩不破裂。拓扑关注连通性。环面与球面不同。几何不断向前发展。新问题不断出现。新方法不断创造。新应用不断拓展。

几何是人类智慧结晶。几何源于生产实践。几何推动科技发展。几何改善人类生活。我们应当学习几何。我们应当应用几何。我们应当探索几何。几何世界广阔深邃。几何研究永无止境。