数学研究数的规律。代数研究方程的解。解方程需要数的范围。方程x加一等于零在自然数里无解。整数范围有解负一。方程x平方等于二在有理数里无解。实数范围有解根号二。方程x平方等于负一在实数里无解。复数范围有解虚数i。数系从自然数到复数逐步扩充。每次扩充解决新的方程求解问题。这是代数学的基本思想。

多项式方程是代数的核心。一次方程容易求解。二次方程有求根公式。三次四次方程也有公式解。五次及以上方程呢。十九世纪数学家阿贝尔证明五次方程没有一般的根式解。根式解指用加减乘除开方表示的解。伽罗瓦提出群的理论深刻解释这一现象。群描述对称性。方程根的对称性对应一个群。这个群称为伽罗瓦群。方程有根式解当且仅当伽罗瓦群可解。五次方程的伽罗瓦群不可解。所以五次方程没有根式解。伽罗瓦理论是抽象代数的开端。

抽象代数研究代数结构。群环域是基本结构。群是一个集合带一个运算。运算满足封闭性结合律。有单位元。每个元素有逆元。整数加法构成群。非零实数乘法构成群。正三角形旋转对称构成群。环有两个运算加减乘。整数集合是环。多项式集合是环。环可研究整除性因子分解。域是有加减乘除的环。有理数实数复数都是域。有限域元素个数有限。有限域在编码理论中有用。

线性代数研究向量空间和线性映射。向量空间是元素集合。元素可加可数乘。二维平面向量是例子。三维空间向量是例子。N维向量是抽象推广。线性映射保持加法和数乘。矩阵表示线性映射。矩阵乘法对应映射复合。矩阵行列式反映映射体积变化。特征值特征向量揭示映射主要方向。线性方程组求解是核心问题。高斯消元法具体求解。向量空间理论抽象理解解的结构。解空间是子空间。基础解系是基。

分析学研究极限过程。微积分是分析基础。导数研究函数变化率。积分研究函数累积和。牛顿莱布尼茨公式联系导数和积分。实数系是分析的舞台。实数具有完备性。任何柯西序列收敛。实数连续无空隙。函数极限定义严格。epsilon-delta语言描述接近程度。数列收敛有极限。函数连续自变量微小变化引起函数值微小变化。一致连续要求delta只依赖epsilon不依赖点位置。

微分方程描述变化规律。含有未知函数导数的方程是微分方程。牛顿第二定律是微分方程。人口增长模型是微分方程。解微分方程就是找函数。常微分方程只有一个自变量。偏微分方程有多个自变量。热传导方程是偏微分方程。波动方程是偏微分方程。求解需要初始条件和边界条件。解析解常难以求得。数值方法求近似解。欧拉法龙格库塔法是常用方法。

概率论研究随机现象。随机事件可能发生可能不发生。概率度量可能性大小。概率值介于零和一之间。必然事件概率为一。不可能事件概率为零。抛硬币正面概率二分之一。掷骰子得一点概率六分之一。条件概率是已知某事件发生下另一事件概率。贝叶斯公式计算条件概率。随机变量是函数将结果映射为实数。离散随机变量取值可数。连续随机变量取值充满区间。概率分布描述随机变量取值规律。二项分布泊松分布是离散分布。正态分布均匀分布是连续分布。期望是平均值。方差度量偏离程度。大数定律说明试验次数多频率接近概率。中心极限定理说明独立随机变量和近似正态分布。

数论研究整数性质。整除是基本概念。质数只有一和自身两个正因数。算术基本定理说每个大于一的整数可唯一写成质数乘积。质数有无穷多个。欧几里德用反证法证明。质数分布不规则。素数定理描述质数分布密度。哥德巴赫猜想每个大于二的偶数是两个质数和。陈景润证明充分大偶数为一个质数及一个不超过两个质数乘积的和。未完全解决。同余是数论重要工具。两个整数除以同一个正整数余数相同称同余。模运算简化计算。费马小定理关于模质数的幂。中国剩余定理解同余方程组。密码学应用数论知识。RSA公钥密码基于大数分解困难性。

几何学研究空间形状。欧氏几何是传统几何。基于五条公设。平行公设引起争议。非欧几何改变平行公设。罗巴切夫斯基几何双曲几何。黎曼几何椭圆几何。广义相对论需要黎曼几何。拓扑学研究图形连续变形下的不变性质。连通性洞数是拓扑不变量。克莱因瓶莫比乌斯带是拓扑对象。分形几何研究自相似图形。海岸线云朵形状是分形。曼德博集合是复杂分形。

数学应用于各领域。物理学用微分方程描述运动。工程学用有限元法计算结构。经济学用博弈论分析策略。计算机科学用图论研究网络。生物学用微分方程建模种群。医学用统计学分析药效。数学是科学语言。数学提供逻辑工具。数学推动技术进步。

数学学习训练思维。定义要清楚。证明要严谨。结论要准确。从具体到抽象。从特殊到一般。发现问题。分析问题。解决问题。猜想需要证明。直觉需要检验。错误需要修正。数学研究充满挑战。数学探索永无止境。