数字让我们认识世界。数字是数学的开始。一个苹果是数字一。两个苹果是数字二。这种认识很直接。我们数东西。我们记录东西。这是最早的数学。数学从这里生长出来。

现在看大一点的数字。我们数一群羊。羊很多很多。我们不能一只一只说。我们需要概括。我们说有一百只羊。数字一百是一个概念。它代表十组十。这个想法很强大。我们用很少的符号代表很大的数量。十个符号足够。它们是零，一，二，三，四，五，六，七，八，九。我们组合它们。二十三表示两个十和一个三。这是进位制。生活中天天用。买菜算钱。看时间。都是这样。

数字之间有关系。加法和减法最常用。你有三个梨。我再给你两个。你现在有五个梨。这是加法。三加二等于五。你吃了一个梨。你还剩四个梨。这是减法。五减一等于四。这些运算很简单。它们的基础是数数。加法是往后数。减法是往前数。

乘法是重复的加法。一包糖有六块。三包糖有多少块？你可以加三次。六加六加六。结果是十八。你也可以用乘法。六乘以三等于十八。乘法更快。除法是相反的。十八块糖分给三个人。每人得到六块。这是除法。十八除以三等于六。乘法和除法联系紧密。知道一个就知道另一个。

数字有不同类型。我们最开始数羊。用的数字叫自然数。自然数是完整的。它们没有缺口。一，二，三，四，五…这样下去。自然数够用吗？有时候不够。你有三个苹果。要分给四个朋友。每人分不到一个完整的苹果。这里出现分数。分数表示一部分。三个苹果分四份。每份是四分之三个。分数填补了自然数的空隙。在自然数之间。还有更多数字。

分数也叫有理数。有理数可以写成分数形式。整数也是有理数。比如数字二。可以写成二分之一。也可以写成一分之二。有理数很密集。任何两个有理数之间。总能找到另一个有理数。比如二分之一和四分之三。它们的中间是八分之五。你可以一直找下去。中间总是有数。

但有理数仍然不够。一个正方形的边长是一。它的对角线多长？根据古老的知识。对角线长度自己乘自己等于二。这个数不能写成分数。它不是有理数。我们叫它无理数。无理数和有理数在一起。组成实数。实数是连续的。它没有缝隙。你在数轴上标点。每一个点对应一个实数。每一个实数对应一个点。

实数是数学的基石。大部分生活测量用实数。你的身高一点七五米。这个重量二点三公斤。都是实数。实数运算法则很牢固。加法交换顺序结果不变。三加五等于五加三。乘法也是这样。这些法则像房子的墙。它们支撑整个结构。

数学不只在计算。它也在寻找模式。看这些数字：二，三，五，七，十一。它们只能被一和自己整除。它们是质数。质数是数的原子。别的整数由质数乘出来。十二等于二乘二乘三。每个整数唯一分解成质数。这个定理很重要。它是算术的基础。质数没有规律。它们出现很随机。数学家研究质数。想预测下一个质数在哪里。这很难。但研究很有用。互联网保密就用到大质数。

再看形状和空间。这是几何。一个点没有大小。一条线穿过点。线有长度没有宽度。面有长度和宽度。体有长度宽度和高度。这些想法来自生活。我们观察桌子的边。观察球的面。几何研究它们的性质。三角形三个角加起来是一百八十度。圆周长除以直径总是同一个数。我们叫它圆周率。它是一个无理数。大约三点一四一六。这个数很重要。算圆的东西都用它。

代数是另一种语言。我们用字母代表数。我们说一个长方形的长是a。宽是b。它的面积是a乘以b。这个表达很一般。它代表所有长方形。不管a和b是多少。公式都成立。这就是代数的力量。它抓住共同的结构。解开一个问题。就解开所有同类问题。方程是代数的核心。一个方程像一个天平。左边等于右边。我们要找到未知数的值。让天平平衡。比如二乘以某个数再加三等于七。这个数是多少？你很容易算出是二。复杂方程需要技巧。但思想一样。保持平衡。一步一步简化。

函数描述变化关系。你开车。时间变化。路程也变化。路程是时间的函数。温度随时间变化。温度是时间的函数。函数是一个规则。输入一个数。输出另一个数。我们可以画函数的图像。图像是曲线。它直观展示变化。有的函数直线上升。有的函数上下波动。研究函数就是研究变化。这是数学的重要部分。

数学分支很多。它们相互连接。几何问题可以用代数方法解决。代数问题可能有几何意义。数学是一个大网。每个概念连着别的概念。理解一个概念。需要看到它的邻居。看到它在哪里用。怎么用。

数学是思考的工具。它训练逻辑。每一步要有理由。不能凭空跳跃。结论必须从前面推出。这种严格性很特别。在生活中。我们说话有时模糊。数学不允许模糊。数学要求清晰。要求准确。这种精神很有价值。它不止用于数学。也用于别的科学。用于工程。用于计算机。

数学也在发展。新的问题出现。新的概念创造。数学家探索未知领域。就像探险家走进森林。他们画地图。他们建立联系。这个过程没有结束。总有问题没有答案。总有道路没有走过。这就是数学的活力。它不断生长。不断更新自己。

数学的基础是我们熟悉的。数字，计算，形状，变化。我们从这里开始。向深处走。向高处走。数学的世界很大。它的起点很小。就在我们每天的生活里。就在我们的手指上。就在我们看的物体中。数学不是外来的。它是从我们认识世界的方式中。自然长出来的。