不定积分是微积分的重要内容。不定积分是求导的逆运算。函数F(x)的导数是f(x)。F(x)就是f(x)的一个原函数。原函数不止一个。它们之间相差常数。f(x)的所有原函数叫不定积分。记作∫f(x)dx。积分符号是∫。dx表示积分变量。计算不定积分就是找原函数。

求不定积分有直接方法。基本积分公式是基础。这些公式从导数公式得来。x的n次方积分公式很重要。n不等于负一。积分结果是x的(n 1)次方除以(n 1)再加常数C。指数函数e的x次方积分仍是e的x次方加C。a的x次方积分是a的x次方除以lna再加C。正弦函数sinx积分是负余弦函数加C。余弦函数cosx积分是正弦函数加C。sec²x积分是tanx加C。csc²x积分是负cotx加C。secxtanx积分是secx加C。cscxcotx积分是负cscx加C。dx除以根号下(1-x²)积分是arcsinx加C。dx除以(1 x²)积分是arctanx加C。这些公式必须记住。

直接积分法很简单。利用被积函数变形。用代数运算或三角公式。拆成几个简单函数的和。分别积分再相加。例子很多。比如求(2x 3)的积分。拆成2倍x积分加3倍常数积分。结果是x²加3x加C。比如求(1 x)²除以x的积分。先展开分子。变成1加2x加x²。整个式子除以x。变成x的负一次方加2加x。分别积分。得到ln|x|加2x加二分之一x²加C。注意绝对值符号。x的负一次方积分是ln|x|。

换元积分法很常用。有两种换元法。第一类换元法也叫凑微分法。观察被积函数。找到一个复合函数。外面是函数f。里面是函数g(x)。导数g'(x)也在式子中。那么令u等于g(x)。微分du等于g'(x)dx。原来积分变成∫f(u)du。这个积分容易求。求出原函数。最后用x代回u。例子：求∫2xcos(x²)dx。这里x²的导数是2x。令u等于x²。du等于2xdx。积分变成∫cosudu。积分得sinu加C。代回得sin(x²) C。凑微分需要练习。

第二类换元法不同。设x等于某个函数φ(t)。dx等于φ'(t)dt。代入原积分。化简积分式。求出关于t的原函数。最后用反函数代回x。常用在根号处理。比如根号下(a²-x²)。令x等于asint。根号变成acost。比如根号下(a² x²)。令x等于atant。根号变成asect。比如根号下(x²-a²)。令x等于asect。根号变成atant。例子：求∫dx除以根号下(1-x²)。令x等于sint。dx等于costdt。根号下1-sin²t等于cost。积分变成∫(costdt)/cost。等于∫dt。积分得t加C。t等于arcsinx。结果是arcsinx加C。

分部积分法处理乘积函数。公式来自乘积求导法则。设u和v是x的函数。公式是∫udv等于uv减去∫vdu。关键选好u和dv。选u容易求导。选dv容易积分。LIATE法则有帮助。L对数函数。I反三角函数。A代数函数。T三角函数。E指数函数。按这个顺序选u。例子：求∫xe^xdx。选u等于x。dv等于e^xdx。du等于dx。v等于e^x。代入公式。得到xe^x减去∫e^xdx。等于xe^x减去e^x加C。再如求∫lnxdx。选u等于lnx。dv等于dx。du等于dx除以x。v等于x。公式给出xlnx减去∫x乘以(dx/x)。等于xlnx减去∫dx。结果是xlnx减去x加C。

有理函数积分是重点。有理函数是两个多项式相除。分子次数低于分母时叫真分式。否则是假分式。假分式用多项式除法化成多项式加真分式。真分式分解为部分分式。分母因式分解。一次因子产生A除以(x-a)形式。重一次因子产生A1除以(x-a)加A2除以(x-a)²直到Ak除以(x-a)^k。二次质因式产生(Ax B)除以(x² px q)形式。重二次质因式类似叠加。确定常数用待定系数法。通分比较系数。或者代入特殊x值。分解后每项都能积分。例子：求∫(3x 5)/(x² 4x 3)dx。分母分解为(x 1)(x 3)。设(3x 5)/[(x 1)(x 3)]等于A/(x 1)加B/(x 3)。通分得A(x 3) B(x 1)等于3x 5。比较系数：A B=3，3A B=5。解得A=1，B=2。积分变成∫1/(x 1)dx加∫2/(x 3)dx。结果是ln|x 1|加2ln|x 3|加C。

三角函数积分有技巧。主要用恒等式变形。sin²x加cos²x等于1。1加tan²x等于sec²x。1加cot²x等于csc²x。倍角公式：cos²x等于(1 cos2x)/2。sin²x等于(1-cos2x)/2。sin2x等于2sinxcosx。积化和差公式有时有用。对于∫sin^mxcos^nxdx，有固定方法。m是奇数时，留一个sinx，其余sin²x变成1-cos²x，令u等于cosx。n是奇数时，留一个cosx，其余cos²x变成1-sin²x，令u等于sinx。m和n都是偶数时，用倍角公式降幂。对于∫tanxdx，结果是-ln|cosx|加C。∫cotxdx结果是ln|sinx|加C。∫secxdx是ln|secx tanx|加C。∫cscxdx是ln|cscx-cotx|加C。例子：求∫sin³xcos²xdx。sin³x是sin²x乘以sinx。sin²x等于1-cos²x。原式变成∫(1-cos²x)cos²xsinxdx。令u等于cosx。du等于负sinxdx。积分变成负∫(1-u²)u²du。等于负∫(u²-u⁴)du。结果是负(三分之一u³减去五分之一u⁵)加C。代回得到负三分之一cos³x加五分之一cos⁵x加C。

积分表可以查阅。复杂积分直接查表。但要知道方法。实际计算常用软件。但学习需要理解。

不定积分计算需要多做题。方法灵活。观察被积函数形式。选择合适方法。直接积分。换元积分。分部积分。有理函数分解。三角恒等变形。有时结合多种方法。常数C不能忘记。积分结果要验证。对结果求导。应得被积函数。这是检验方法。

应用很广泛。已知速度求位移。已知加速度求速度。已知边际成本求总成本。曲线围成的面积计算。求曲线弧长。求旋转体体积。物理和工程都用。它是工具。

不定积分是反导数。计算是核心技能。理解原函数概念。掌握基本公式。熟练运用方法。多练习。熟悉各类函数积分。这是微积分基础。后续定积分依赖它。学习要扎实。