太阳每天升起落下。人们看到太阳位置变化。农民根据太阳安排农活。渔民根据潮水决定出海时间。这些现象有规律。人们想找到规律。数学建模帮助人们找到规律。

数学建模是用数学工具描述现实问题。初等模型使用简单数学知识。小学中学数学知识就够用。生活中很多问题可以用初等模型解决。比如安排时间、规划路线、分配物品。

一个简单例子是走路问题。小明从家走到学校。家到学校距离一公里。小明走路速度每分钟六十米。问小明需要走多久。这个问题很容易。距离除以速度得到时间。一千除以六十约等于十六点七分钟。这就是一个数学模型。现实走路可能遇到红灯。可能遇到熟人说话。模型忽略了这些因素。模型抓住了主要关系。

另一个例子是烧水问题。一壶水装五升水。水壶功率一千瓦。问烧开这壶水要多少电。这个问题需要知道水的比热容。水比热容是四千二百焦耳每千克摄氏度。室温二十度。水烧开一百度。温度升高八十度。五升水质量五千克。加热需要的能量是质量乘比热容乘温度差。五乘四千二百乘八十等于一百六十八万焦耳。一千瓦等于每秒一千焦耳。烧水时间是一百六十八万除以一千等于一千六百八十秒。一千六百八十秒等于二十八分钟。实际烧水时间可能更长。热量会散失到空气中。模型没有计算热量损失。模型给出了基本时间。

这些是简单模型。现实问题可能更复杂。复杂问题可以分解为简单问题。比如规划旅游路线。有五个景点要参观。景点之间距离不同。想找一条最短路线。五个景点有排列组合。总共有五乘四乘三乘二乘一等于一百二十条路线。一条一条计算距离。比较哪条路线最短。这就是穷举法。景点增多路线数量增长很快。十个景点有三百多万条路线。穷举法变得困难。需要更聪明的方法。

数学建模寻找更聪明的方法。比如找最短路线有一种贪心算法。每次选择最近的下一个景点。从起点开始。找距离最近的景点。到达这个景点。再找距离最近的未访问景点。重复这个过程直到所有景点访问完毕。这种方法不一定得到最短路线。但通常能得到不错路线。计算简单速度快。

生活中资源分配需要模型。妈妈买来十个苹果。家里有三个孩子。如何公平分苹果。每人分三个苹果。剩下一个苹果。剩下苹果切三块。每人得一块。这就是分配模型。如果苹果大小不同。问题变复杂。需要称重苹果。按重量分配。或者孩子们协商解决。

排队问题常见模型。银行有四个窗口。来了二十个顾客。顾客到达时间随机。办理业务时间不同。如何安排窗口服务。模型可以模拟这个过程。顾客排队等待。窗口服务速度。计算平均等待时间。研究窗口数量影响。研究排队规则影响。先来先服务是一种规则。优先服务短业务是另一种规则。模型比较不同规则效果。

人口增长可以用模型描述。一个村庄有一千人。每年出生二十人。死亡十人。问十年后有多少人。每年净增十人。十年净增一百人。总人口一千一百人。这是线性增长模型。实际上人口增长可能更快。父母生孩子。孩子长大再生孩子。人口可能指数增长。指数增长模型不同。今年人口一千。增长率百分之一。明年人口一千乘一加百分之一等于一千零十人。后年人口一千零十乘一加百分之一。十年后人口约一千一百零五人。两个模型结果接近。时间长了差异变大。

兔子繁殖问题著名。一对兔子出生。两个月后成熟。成熟后每月生一对兔子。新生兔子两个月后成熟。问一年后有多少对兔子。第一个月一对兔子。第二个月一对兔子。第三个月两对兔子。第四个月三对兔子。第五个月五对兔子。数字规律明显。每个数字是前两个数字和。这就是斐波那契数列。一年后兔子数量很大。这个模型描述生物繁殖。

数学建模帮助决策。小卖部进货饮料。饮料有保质期。每天卖出的饮料数量不定。进货太多卖不完会过期。进货太少不够卖损失收入。需要决定每天进货量。查看过去销售记录。每天卖出三十到五十瓶。平均每天卖出四十瓶。可以每天进货四十瓶。有时不够卖。有时有剩余。研究销售规律。星期一到星期四销量少。星期五到星期日销量多。可以不同日子进不同数量。星期一进三十五瓶。星期五进五十瓶。这样更符合实际。

模型需要检验。模型结果和实际情况比较。发现模型偏差。修正模型参数。比如饮料销售模型。实际销售还和天气有关。天气热销量多。天气冷销量少。加入温度因素。温度高增加进货量。温度低减少进货量。模型改进更准确。

初等模型使用加减乘除。使用比例百分数。使用方程函数。使用图表图像。这些知识大家都学过。关键是应用到实际问题。从问题中找出数量关系。用数学式子表示关系。计算得到结果。用结果解释现实。

教育中有很多模型应用。学生复习考试。考试内容很多。时间有限。如何安排复习时间。需要评估各科现有水平。评估各科提高难度。评估各科考试分值。分配时间给容易提高的科目。分配时间给分值高的科目。这不是简单平均分配。需要优化时间利用。

家庭收支需要模型。每月收入固定。支出有房租水电。支出有食品衣物。支出有教育医疗。如何安排支出。记录每月开支。分类统计各项比例。发现可以节省的项目。制定预算计划。控制不必要开支。保证储蓄金额。模型帮助家庭理财。

旅行背包问题。背包容量有限。要带多种物品。物品有不同重量。物品有不同用处。如何选择物品组合。使总用处最大。不超过背包容量。这是经典优化问题。列出所有物品重量和用处。尝试不同组合。找到最好组合。物品数量多时难以穷举。需要近似方法。

数学建模是一种思维训练。从具体到抽象。从复杂到简单。抓住主要因素。忽略次要因素。建立数量关系。解决实际问题。生活中处处有数学。买菜算账是数学。做饭调配是数学。时间安排是数学。资源分配是数学。数学建模让生活更有序。数学建模让决策更合理。

初等模型不要求高深数学。要求观察生活。要求发现问题。要求分析关系。要求计算求解。每个人都可以尝试。记录日常数据。寻找变化规律。预测未来情况。指导当前行动。这就是数学建模的意义。